Математика и искусство палеолита



Рис. 60. Костяная фигурка с Сунгиря. Номер фигурки по коллекционной описи — Д657/157
В 1957г., при первых раскопках палеолитической стоянки Сунгирь в черте г. Владимира на Клязьме, вместе с обильным кремневым инвентарем, костяными поделками и мамонтовой фауной найдена плоская костяная фигурка животного, украшенная точечным орнаментом и окрашенная охрой. Ввиду значительного интереса, который представляет для науки это уникальное произведение палеолитического искусства, здесь дается его предварительное описание без детального историко-сравнительного анализа.
...На обеих сторонах пластинки фигура животного еще более схематично повторена при помощи линий, состоящих из неглубоко высверленных круглых точек-лунок диаметром от 1 до 2 мм. На одной стороне их 48, на другой — 44. При этом туловище дано двумя рядами точек, а ноги — одним.
В некоторых лунках сохранилась ярко-красная охра. Следы ее видны пятнами и на поверхности обеих сторон фигурки. Очевидно, в свое время вся фигурка была окрашена в красный цвет.
...костяная фигурка находилась в вертикальном положении, головой вниз, и при расчистке слоя ножом была повреждена, а задняя нога фигурки со сквозной сверлиной обнаружена лишь после тщательного просеивания отработанной земли через мелкое сито.
В результате фигурка целиком восстановлена (рис. 60). Это костяная пластинка максимальной длиной 5,6 см, не идеально плоская, толщиной от 4 до 1 мм и менее; верхняя и в особенности передняя часть головы заострена, вернее — заточена, почти как лезвие. Это заставило даже поставить вопрос о какой-то производственной функции острого края, тем более, что он особенно сильно заглажен и на конце морды, видимо, слегка выломан и потом снова зашлифован. Животное изображено в профиль, схематично, каждая пара ног дана клиновидным выступом. Следы первоначальной обработки почти не сохранились; лучше они видны на голове — в виде слабых бороздок, впоследствии зашлифованных. Вся поверхность фигурки тщательно, до блеска заполирована, в особенности на выступающих местах, что могло произойти отчасти и при ношении фигурки в качестве амулета. О последнем свидетельствует сквозное отверстие на задней ноге — не вполне круглое, диаметром 2,0—2,5 мм, выполненное двухсторонним сверлением.
...Определить с достоверностью, какое животное изображено первобытным художником, нельзя. Вероятнее всего, это лошадь, большеголовый тарпан или близкая ему форма. По В.И. Громову, на стоянке представлены кости некрупной толстоногой лошади, пока не определяемой ближе; ее череп отсутствует. Не прибегая здесь к сопоставлению сунгирской лошадки с единичными палеолитическими скульптурами, немногими барельефами и сотнями наскальных рисунков, изображающих лошадей, отметим, что техника выполнения находит аналогии в Западной и Средней Европе и в далекой сибирской Мальте. Но ни одно из известных нам палеолитических изображений не имеет близкого сходства с публикуемой фигуркой, основной особенностью которой является не объемная, а плоскостная манера скульптурного изображения, со схематическим повторением фигуры пунктирными линиями.
О.Н. Бадер. Уникальная палеолитическая фигурка со стоянки Сунгирь. КСИА Вып. 82. 1961 с.135-139
https://arheologija.ru/bader-o-n-unikalnaya-paleoliticheskaya-figurka-so-stoyanki-sungir/

Эта фигурка лошади, выточенная из бивня мамонта, и костяной диск были найдены нашей экспедицией во время раскопок стоянки древне-каменного века под Владимиром (Об этой стоянке читайте статью «Сунгирь» - «Вокруг света». 1965(8)). Судя по тому, что они просверлены насквозь, их носили как амулеты, имеющие какое-то ритуальное, магическое значение. На фигурке лошади сохранились остатки красной охры, а красный цвет у древних был символом огня, крови, жизни...Дальнейшие исследования этих находок помогут нам лучше узнать представления об окружающем мире, образ жизни, обычаи и верования жителей этой северной палеолитической стоянки. Но уже сейчас, глядя на эти фигурки, можно высказать предположение, на первый взгляд, казалось бы, фантастическое...
На поверхности фигурки лошади, повторяя контуры ее, расположены два параллельных ряда точек, высверленных острым кремневым орудием. Такие же точки на ногах скульптуры. Сосчитайте их: на линиях вдоль ног по пять точек, на каждой линии, идущей вдоль туловища, ровно по двадцать. Общее число точек — пятьдесят. Теперь посмотрите на диск. От центральной точки его расходятся лучи — и в каждом из них ровно по пять таких же точек.
Случайно или осознанно древний мастер высекал эти точки, следуя удивительно четкому числовому ритму, равному пяти? Ведь если это не случайно — значит обитатели сунгирской стоянки, жившие два с половиной — три десятка тысячелетий назад, уже умели считать!
Но, может быть, все же эти числа случайны и сунгирские находки не имеют аналогий среди других находок палеолитического искусства?
...Совсем недавно советский исследователь Борис Фролов доказал, что на большинстве костяных пряжек, блях, статуэток и других произведениях палеолитического искусства Сибири орнамент ритмически повторяет числа «пять» и «десять», а на некоторых — число «семь». А французский исследователь М. Ферворн, изучая орнаменты на изделиях мастеров стоянки древнекаменного века Брассампуи во Франции, заметил, что, нанося насечки на кости, палеолитический «гравер» сочетает их в группы...по десять насечек, а на одной скульптурной женской головке, найденной там же, прическа изображена десятью вертикальными и семью горизонтальными полосами! Снова тот же числовой ритм, что был открыт в Сунгире и в Сибири — пять и семь! Это уже не может быть случайностью...И сейчас можно сказать, что десятки тысяч лет назад, в эпоху древнекаменного века, люди, населявшие пространства от Атлантического океана до Байкала, уже умели считать! И причем счет их был основан не только на так называемой пятеричной системе — по числу пальцев на руке: они знали число «семь». И некоторые исследователи делают из этого вывод, что в конце древнекаменного века люди уже создали лунный календарь: ведь число семь — это число дней каждой из фаз Луны!..
О.Н. Бадер. Математика палеолита. Вокруг Света, 1969(10), с.26-27
http://publ.lib.ru/ARCHIVES/V/′′Vokrug_sveta′′/_′′Vokrug_sveta′′_1960-69_.html
Орнамент – один из древнейших видов изобразительной деятельности человека. Он представляет собой узор, основанный на повторе и чередовании составляющих его элементов. В далёком прошлом орнамент нёс в себе символический и магический смысл, знаковость, семантическую функцию, подчёркивал социальную роль и положение человека, обладавшего орнаментированным предметом, или удовлетворял эстетическое чувство, выполняя декоративную функцию. Первые, явно не случайные царапины археологи находили на костях животных, населявших Землю ещё во времена homo erectus. Предпосылки появления орнамента прослеживаются уже в эпоху мустье. В Ла Ферраси (Дордонь, Франция) была обнаружена известняковая плитка с вырезанным на ней рисунком: несколько прямых линий были проведены между группами ямок1. Это были первые знаки, переданные изобразительными средствами2. В позднем палеолите различные узоры наносились на предметы, представлявшие собой мобильные произведения искусства (скульптура, гравировка на кости, роге, бивне мамонта или камне). Изображения животных и элементы геометрического орнамента встречаются на стенах пещер и гротов, которые использовались древними людьми, предположительно, как святилища (монументальная живопись).
Для каждой культуры эпохи палеолита характерны свои определённые узоры. Традиционно стоянку Сунгирь принято относить к костёнковско-сунгирской историко-культурной общности3. Несмотря на схожесть кремневых комплексов стоянок Костёнки I, Авдеево и Сунгирь, преобладающие орнаменты на костяных изделиях у них разные. Узоры на поделках со стоянки Костёнки I вместе с подобными материалами из Авдеева (раскопки 1946–1949 гг. и 1972–1980 гг.) изучался М.Д. Гвоздовер4. Для костёнковских и авдеевских находок характерны такие элементы, как чёрточка, косой крест, угол, которые образуют линейный орнамент. На сунгирских предметах прослеживаются другие узоры. Точечный орнамент нанесён на пять находок. Сквозные отверстия, образующие узор, прорезаны на четырёх костяных дисках. Верхняя часть фрагмента костяного черенка из погребения мужчины покрыта спиральным орнаментом. Поперечные короткие нарезки прослеживаются на ребре рукоятки одного из так называемых «жезлов начальника». Впервые точечный орнамент на сунгирских находках был зафиксирован О.Н. Бадером ещё в процессе раскопок5. Узоры из сверлин были обнаружены им на 3 предметах. Это амулет-лошадка, костяной диск и так называемый «жезл». Кроме исследований О.Н. Бадера данные находки были опубликованы в книге Б.А. Фролова и статьях Р. Уайта. Количество сверлин на диске и лицевой стороне фигурки лошади (если учитывать сквозные отверстия на ножке лошадки и в центре диска) кратно пяти. Б.А. Фролов и О.Н. Бадер предположили, что это свидетельствует о существовании зачатков счёта на стоянке Сунгирь6. По версии Р. Уайта, точечный орнамент на находках подражал предметам, встречающимся в природе7. Он считал, что на изображениях животных точки могли имитировать шерстяной покров.
Однако все эти исследователи рассматривали только три сунгирских находки с наиболее чётко сохранившимся узором, которые описал О.Н. Бадер. Точечный орнамент на двух других предметах был открыт совсем недавно и сохранился не полностью.
...Все орнаментированные сунгирские предметы можно разделить на 3 группы в зависимости от нанесённых на них узоров:
1) с точечным орнаментом,
2) с прорезным орнаментом,
3) с линейным орнаментом.

Самую многочисленную группу составляют находки с точечным орнаментом. Сюда относятся: фигурка лошади (кат. 1), маленький диск (кат. 2), так называемый «жезл начальника» (кат. 5), браслет (кат. 4) и ретушёр (кат. 3). Данные экспонаты были обнаружены в разных частях стоянки и имели различное назначение.
Из пяти предметов с точечным орнаментом только один представляет собой изображение живого существа – это фигурка лошади (кат. 1). Она находилась в ямке недалеко от предполагаемого жилища и располагалась в заполняющем углубление слое вертикально14. Судя по тому, что там же присутствовали уголь и охра, О.Н. Бадер предполагал, что яма была ритуальной15. На каждой стороне пластинки фигура животного схематично повторена контуром из неглубоких точек-лунок, проходящим примерно посередине изделия. Орнамент располагается с обеих сторон на туловище и голове животного двумя изогнутыми параллельными линиями и на каждой ноге – одной линией. На правой стороне фигурки линии вдоль туловища содержат по 20 точек, линии на ногах – по 5 точек, включая сквозное отверстие для привешивания. На левой стороне фигурки верхняя линия состоит из 17 точек, нижняя – из 19 точек. На передней ноге просверлено 4 точки, на задней – 5 точек. На поверхности видны пятна ярко-красной охры, её же следы сохранились в некоторых лунках.
...По версии О.Н. Бадера и Б.А. Фролова, количество углублений на фигурке лошади свидетельствует о наличии в то далёкое время пятиричной системы исчисления22. На лицевой стороне статуэтки количество точек в каждой линии кратно 5. На обратной стороне высверлено 45 углублений. Числовой ритм, прослеживающийся в данных узорах,
подтверждает эту версию.

...В отличие от амулета-лошадки, остальные четыре орнаментированных точками предмета со стоянки Сунгирь не изображают одушевлённых существ. Костяной диск (кат. 2) был найден в 4 м от ямы, в которой находился амулет-лошадка, на территории предполагаемого жилища27. Сделанный из бивня мамонта, он украшен с каждой стороны 8 радиусами по 4 точки-ямки в каждом. В центре диска расположено сквозное отверстие.
Подобные диски найдены в нижнем горизонте Афонтовой горы II28, на Афонтовой горе III29, на Ложери-Ба30 и ряде других стоянок Средней и Юго-Западной Европы31. На предмет из Афонтовой горы III нанесены радиальные нарезки, пересечённые у краёв диска кольцевой резной линией. На остальных дисках прочерчены хаотичные линии или выполнены изображения животных. Все предметы, кроме находки из Афонтовой горы III, имеют в центре сквозное отверстие. Однако только на сунгирский диск нанесён точечный орнамент.
Ряды углублений на сунгирской находке, по предположению О.Н. Бадера и Б.А. Фролова, свидетельствуют о наличии у древних людей счёта32. Если считать центральное отверстие пятой точкой в каждом радиусе, то узор на костяном диске может служить доводом в пользу данной версии.
...Интересен тот факт, что в каждом захоронении (кроме верхнего погребения могилы мужчины) находился один предмет с точечным орнаментом. Это подтверждает гипотезу о сакральном смысле подобных находок...
Предметы с орнаментом со стоянки Сунгирь из археологических коллекций Государственного Владимиро-Суздальского музея-заповедника. Каталог. Владимир 2015. Составитель А.Н. Денисова, хранитель коллекции «Археология г. Владимира (Сунгирь)». 28с. (В настоящий каталог вошли 11 предметов из бивня мамонта и рога северного оленя со стоянки Сунгирь. Это находки, на поверхности которых прослеживаются орнаменты)
http://docplayer.ru/28504547-Predmety-s-ornamentom-so-stoyanki-sungir-iz-arheologicheskih-kollekciy-gosudarstvennogo-vladimiro-suzdalskogo-muzeya-zapovednika.html
https://vk.com/doc399489626_529041807

От пентатоники к септатонике
Интересным примером применения наилучших приближений, получаемых с помощью непрерывных дробей, служит математическое объяснение того, почему со времен Баха используется равномерно темперированная шкала, содержащая 12 полутонов в каждой октаве. Наряду с основным тоном музыкального инструмента (вызываемого, например, колебанием струны) звуковое колебание содержит ряд обертонов, создающих тембровую окраску звука. Если, например, длина струны L такова, что (при заданном натяжении) она издает звук До первой октавы, соответствующий (например) w = 512 колебаниям в секунду, то струна длиной 2/3 L (на струнных инструментах эта длина получается нажатием пальца в соответствующем месте) издает звук, имеющий частоту 3/2w (натуральная квинта), а струна длиной L/2 издает звук, имеющий частоту 2w (октава). Эти обертоны, прежде всего, присутствуют в основном тоне. Наше ухо улавливает при сравненни высоты двух звуков не отношение их частот, а логарифм этого отношения. Если принять интервал в одну октаву (переход от звука До первой октавы к звуку До второй октавы) за единицу, то основание логарифмов надо выбрать так, чтобы было
loga(2w/w) = 1, т.е. loga2 = 1
Отсюда видно, что а = 2. Натуральная же квинта воспринимается слухом как интервал, меньший октавы, - а именно, как ее часть, равная
log2(3/2w:w) = log23 - 1
В своем классическом произведении - Хорошо темперированный клавир - Иоганн Себастиан Бах написал 24 фуги для клавира, у которого произведена равномерная темперация, т.е. деление октавы на 12 равных (по слуху) интервалов (полутонов). Почему исторически возникло деление октавы именно на 12 интервалов?
Ответ дает теория непрерывных дробей. Наш слух естественно воспринимает именно натуральную квинту, и делить октаву надо на столько частей, чтобы число log23 - 1 хорошо приближалось дробью с выбранным знаменателем (иначе слух будет отмечать диссонанс звуков). Разложив это число в непрерывную дробь, находим (это легко сделать с помощью калькулятора)
log23 - 1 = 0,5849625 = 1/ (1 + 1/ (1+ (2 + 1/ (2 + 1/ (3 + …)))))
Подходящими дробями будут 1; 1/2; 3/5; 7/12; 24/41; …
Приближения 1 и 1/2 слишком грубые (первое из них означает, что мы приравниваем натуральную квинту к октаве!). Приближение 3/5 соответствует пентатонике, существующей у народов Востока, а приближение 7/12 самое удачное. Оно соответствует делению октавы на 12 частей (полутонов), и 7 таких полутонов соответствуют квинте. Сравнение числа log23 - 1 с числом 7/12 = 0,5833… показывает качество приближения: разница высот натуральной квинты и темперированной квинты (7 полутонов) не улавливается даже профессиональными музыкантами. Заметим, что, кроме звука Соль (семь полутонов от звука До), важную роль играют следующие звуки, входящие в основные трезвучья:
фа: длина струны 3/4L, частота 4/3w;
log2 (4/3w:w) = 2 - log23 ~~ 5/12
(где знак ~~ означает - приближенно равно)
ми: длина струны 4/5L, частота 5/4w;
log2 (5/4w:w) = log25 - 2 ~~ 4/12
ми бемоль: длина струны 5/6L, частота 6/5w;
log2 (6/5w:w) = 1 + log23 - log25 ~~ 3/12
Отметим, что приближение для натурального звука Ми (4 интервала от основного тона) является не таким хорошим, как для натуральной квинты, и скрипачи различают звуки Ми диез и Фа
Из примечаний В.Г. Болтянского к книге Феликса Клейна (1849-1925) Элементарная математика с точки зрения высшей. Т.1. Пер. с нем. (Под ред. В.Г. Болтянского. - 4-е изд. - М., Наука. Гл.ред.физ-мат. лит. 1987)
http://publ.lib.ru/ARCHIVES/K/KLEYN_Feliks/_Kleyn_F..html



Мне нравится:
0

Рубрика произведения: Поэзия ~ Авторская песня
Количество рецензий: 0
Количество просмотров: 9
Опубликовано: 21.12.2019 в 09:12
© Copyright: Игорь Бабанов
Просмотреть профиль автора







Есть вопросы?
Мы всегда рады помочь!Напишите нам, и мы свяжемся с Вами в ближайшее время!
1