Оум. Проективное мышление Плюккера, Штаудта и Клейна. От восприятия к мысли


А i то
всенко ден
ко БозЪм
зрящемо
яковi есь СвЪт
Его же рЪщемо
Перун ДажБо Хор а Яр
i iно iмены
...тако спЪвахом
Слву БзЪм
а жiвехом
мiлостiу Божьску
донеждЪ жiвота
се гонзiмо
Сурожа бiе вразi наша
iже соуте на Те
мЪзiямi ползщiмi
а гръзящi суте намо
болЪма
Маръм Мapою
а концем жiвота всенщскiм
...явiтiсе Бгу Сiлну
...а бiятi теме мещем молнiiм
а та iздхне
...Сypiа свЪтi на нь
а до нь
а вiдiмо всящская
...ПервЪ бо
Слва Сурiу
СтлуДiду
етень iждене злая
Влескнига Дощ.4 А и всякий-то день к Богам взираем, которые есть Свет, который называем Перун, Дажбо, Хор и Яр, и иными именами...Так поем славу Богам и живем милостью божеской, пока жизни не лишимся.
Сурожа бьет врагов наших, которые суть на Нее пауки ползущие...и грозящие нам болями и Маром-Марой, и концом жизни всяческим...явиться Богу Сильну...и бить тем мечом молнийным, и они издохнут.
Суря светит на нас и к нам, и видим всё...Во-первых же, слава Суре, Светлому Деду, который нам изгоняет злую...

С Юлиусом Плюкером мы вступаем уже в период, с которым я сам связан многочисленными отношениями. Лично я чту в нем своего учителя, ассистентом которого по физике я был с I860 по 1868г. и с которым нас связывает общая родина.
… Говоря о работах Плюкера, я хотел бы прежде всего остановиться на его достижениях в области физики, в силу тех персональных взаимоотношений, которые связывают с ними нас, геттингенцев. Физические работы Плюкера помещены во втором томе сочинений, собранных Геттингенским научным обществом и снабженных предисловием Рике.
Хотя Плюкер и начал с математики, однако он отнюдь не был физиком-теоретиком. Наоборот, его больше привлекали чисто экспериментальные исследования, в которых он, следуя примеру Фарадея, охотнее всего проникал в совершенно неисследованные области. Благодаря этому ему удалось сделать целый ряд открытий.
… Я перехожу теперь к продолжению нашей основной темы, обращаясь к геометрическим работам Плюкера. Мы обязаны ему пятью большими самостоятельными публикациями, кроме работ, собранных в первом томе Собрания сочинений:
1. Аналитически-геометрические исследования, Т.1 И 2, 1828, 1831;
2. Система аналитической геометрии (на плоскости), 1834;
3. Теория алгебраических кривых, 1839;
4. Система аналитической геометрии в пространстве, 1846;
5. Новая геометрия пространства, основанная на рассмотрении прямой линии как основного элемента, 1868, 1869 (вторая часть после его смерти издана мной).
О последнем сочинении, которое относится ко второму геометрическому периоду Плюкера, я буду говорить в дальнейшем развитии этих лекций. Я хотел бы только отметить как любопытную черту, что возобновление Плюкером геометрических работ совпадает с годом смерти Штейнера (1863). Существует ли между этими событиями причинная связь, установить, конечно, невозможно.
Целью Плюкера в геометрии и его достижением является новое построение аналитической геометрии. Он придерживался при этом метода, возникшего из традиций Монжа: полного сращения построения и аналитической формулы. В предисловии к первому своему сочинению, на стр. IX он говорит: Я присоединяюсь к тому мнению, что анализ является наукой, существующей самостоятельно, в себе самой, вне зависимости от каких бы то ни было приложений, тогда как геометрия, так же как, с другой стороны, механика, являются только наглядным изображением соотношений в едином великом и возвышенном мирозданиии -. В этих словах ясно слышатся положения Монжа, с которыми мы в другой форме познакомились и у Гаусса.
В геометрии Плюкера простое комбинирование формул переводится на язык геометрических соотношений и, наоборот, последними направляются аналитические операции. Вычисления у Плюкера по возможности опускаются, но зато развивается и широко применяется доходящая почти до виртуозности острота внутреннего восприятия, геометрического истолкования имеющихся аналитических уравнений.
В качестве примера, характеризующего образ мышления Плюкера, я приведу его доказательство теоремы Паскаля.
Речь идет о двух тройках прямых p, q, r и p’, q’, r’, из девяти точек пересечения которых шесть лежат на одном коническом сечении (черт. 5). Утверждается, что остальные три лежат на одной прямой. Мы рассматриваем p, q, r, p’, q’, r’как линейные выражения, приравнивание которых нулю дает уравнения шести прямых, о которых идет речь. Тогда комбинация pqr — $p’q’r’ =0 представляет собой уравнение пучка кривых третьего порядка, которые все проходят через девять точек пересечения обеих троек прямых. Так как из этих девяти точек шесть лежат на коническом сечении и кроме того в нашем распоряжении имеется постоянная $, то путем подходящего подбора $ я могу всегда выделить кривую, имеющую с данным коническим сечением еще одну седьмую, общую точку. Кривая третьего порядка С(3) и кривая второго порядка С(2), вообще говоря, имеют шесть общих точек. Если уравнение шестой степени, определяющее их пересечения, имеет больше, чем шесть корней, то оно обращается в пуль тождественно. Поэтому кривая С(3) должна распадаться на само коническое сечение и линейную остаточную часть, которая необходимо должна содержать три другие точки пересечения обеих точек прямых. Стало быть, эти три точки действительно лежат на одной прямой.
Это доказательство, которое при некотором навыке становится настолько ясным, что может быть изложено еще короче…

...Радикальное изменение во всем этом произвел Штаудт, отчетливо понявший не только то, что независимое от метрики определение общих проективных координат необходимо, но и то, что оно возможно. Чтобы уничтожить даже воспоминание о прежней непоследовательности, он отказался от термина „двойное отношение" и наименовал соответствующую характерную для проективной геометрии конфигурацию четырех точек словом Wurf. Вурф, образуемый точкой Р с тремя произвольно выбранными основными точками 0, 1, оо, представляет собой число, которое и выбирают за координату точки Р.

…Я покажу теперь более подробно на одном примере, на котором мы уже останавливались, когда говорили о Плюкере, применение этого метода в геометрическом исследовании. Мы уже говорили о теореме, по которой всякая плоская кривая третьего порядка С(3) имеет девять точек перегиба, из которых три всегда действительны, а шесть мнимых, причем каждым двум соответствует третья, лежащая с первыми двумя на одной прямой и все они таким образом лежат на двенадцати свое образно расположенных прямых. Естественно возникающая теперь задача состоит в том, чтобы, исходя из интерпретации Штаудта, представить в геометрически наглядном виде эти девять точек перегиба и определяемую ими конфигурацию.
Для облегчения заменим поставленную задачу другой, принципиально от нее мало отличающейся. А именно, дуализируем проблему и рассмотрим, следовательно, вместо кривой третьего порядка С(3) кривую третьего класса С^3. Согласно сформулированной выше теореме эта кривая имеет девять касательных возврата, которые по три проходят через одну точку.
Задача состоит окончательно в том, чтобы представить эти девять касательных возврата и 12 точек, в которых пересекаются соответствующие тройки касательных возврата...
Клейн Ф. Лекции о развитии математики в XIX столетии. Часть 1. (1926). Москва - Ленинград: ОНТИ. Главная редакция технико-теоретической литературы, 1937
http://publ.lib.ru/ARCHIVES/K/KLEYN_Feliks/_Kleyn_F..html



Мне нравится:
0

Рубрика произведения: Поэзия ~ Авторская песня
Количество рецензий: 0
Количество просмотров: 9
Опубликовано: 25.03.2019 в 10:49
© Copyright: Игорь Бабанов
Просмотреть профиль автора






Есть вопросы?
Мы всегда рады помочь!Напишите нам, и мы свяжемся с Вами в ближайшее время!
1