Оум. Анализ анализа


Iа ЧенслоБг
уцте дне нашiя
а рещеть Бъговi
ченсла сва
А быте дне Сврзенiу
нiже боте ноще
а оусноуте
Тоi бо се
есе Явскi
а Сыi есте
во дне Бжьстiем
А в носще
нiкii есь
iножде
Бг ДiдДубСноп наш
А ЧислоБог считает дни наши и речет Богу числа все - быть ли, дню небесному или же быть ночи, и уснуть. Этот ведь есть явский, а Тот есть во дне божеском. А в ночи нет никого, лишь Бог, Дид-Дуб-Сноп наш (перевод Н. Слатин)

Дорогой мой друг!
Я открыл в анализе кое-что новое. Некоторые из этих открытий касаются теории уравнений, другие функций, определяемых интегралами.
В теории уравнений я исследовал, в каких случаях уравнения разрешаются в радикалах, что дало мне повод углубить эту теорию и описать все возможные преобразования уравнения, допустимые даже тогда, когда оно не решается в радикалах.
Из этого можно сделать три мемуара. Первый написан, и, после сделанных исправлений, я твердо убежден в его правильности, несмотря на то, что сказал о нем Пуассон.
Ты знаешь, дорогой мой Огюст, что я занимался исследованием не только этих вопросов. С некоторого времени я больше всего размышлял о приложении теории неопределенности к трансцендентному анализу. Речь идет о том, чтобы предвидеть заранее, какие замены можно произвести в соотношении между трансцендентными величинами или функциями, т.е. какие величины можно подставить вместо данных, с тем, чтобы соотношение осталось в силе. Это заставляет признать невозможность многих выражений, которые иначе надо было бы исследовать. Но у меня нет времени, и мои представления в этой необъятной области еще не очень ясны.
Дай напечатать это письмо в "Ревю ансиклопедик". За свою жизнь я не раз позволял себе высказывать предположения, в которых не был уверен. Но обо всем, что здесь написано, я думаю уже около года, и слишком уж в моих собственных интересах не ошибиться, ведь иначе меня заподозрят в том, что я указываю теоремы, полные доказательства которых мне неизвестны.
Обратись публично к Якоби и Гауссу и попроси их высказать свое мнение, но не о верности теорем, а об их значении.
Я надеюсь, что после этого найдутся люди, которые сочтут для себя полезным навести порядок во всей этой неразберихе.
Горячо обнимаю тебя.
Э. Галуа
Письмо Огюсту Шевалье, 29 мая 1832 года (опубликовано в сентябрьском номере "Ревю ансиклопедик" за 1832 год)
***
Эпоха выдвигает свои основные задачи дня. Эти задачи приковывают внимание наиболее светлых умов как бы помимо их воли без того, чтобы [неразборчиво] главенствовал в этом состязании. Часто кажется, что одни и те же идеи возникают сразу у многих, как будто их одновременно озаряет какое-то откровение. Если поискать причину этого явления, то ее легко обнаружить, просмотрев работы тех, кто нам предшествовал, где те же идеи уже существовали хотя и без ведома их авторов.
До сих пор наука не извлекла большой пользы из этих совпадений, так часто наблюдаемых в исследованиях ученых. Недостойная конкуренция, унизительное соперничество - вот их единственные плоды. Однако в этом факте нетрудно увидеть доказательство того, что ученые созданы для изолированного существования не больше, чем все остальные люди, что они тоже принадлежат своему времени и рано или поздно начнут действовать сообща. Сколько тогда времени освободится для науки!
Сейчас аналитиков занимает много вопросов совсем нового типа. Наша задача будет состоять в том, чтобы вскрыть [связь между этими вопросами].
- Библиотека Академии наук, фонд Галуа, 1З-я папка, листы 79-80
***
Эварист Галуа и развитие науки
Понять - это подхватить и продолжить начатое.
- Жан Кавайе
Здесь я занимаюсь анализом анализа.
- Эварист Галуа
Математические работы Галуа, по крайней мере те, что сохранились, составляют шестьдесят небольших страниц. Никогда еще труды столь малого объема не доставляли автору такой широкой известности.
Знакомство с тем, что сделал Галуа, требует особого рода усилий. Галуа испытывал непреодолимое отвращение к громоздким выкладкам, поэтому его формулировки предельно сжаты. Но все написанное им освещено неустанно пытливой мыслью ученого; каждая из его работ - это как бы новый смелый бросок вперед; достигнутое ранее остается позади и перестает интересовать автора. Прозрения Галуа ослепительны. Его отношение к читателю кажется иногда высокомерным (настолько он не заботится о его интересах), но на самом деле это лишь свидетельство совершенно исключительной целеустремленности мысли.
Хотя Галуа много занимался теорией уравнений высших степеней, он не был просто выдающимся алгебраистом. Конкретные результаты, которые ему удавалось получить, никогда не ценились им очень высоко. В первую очередь Галуа интересовали не отдельные математические задачи, а общие идеи, определяющие всю цепь соображений и направляющие логический ход мыслей. Его доказательства основываются на глубокой теории, позволяющей объединить все достигнутые к тому времени результаты и определить развитие науки надолго вперед. Через несколько десятков лет после смерти Галуа немецкий математик Давид Гильберт назвал эту теорию "установлением определенного остова понятий". Но какое бы название за ней ни укрепилось, очевидно, что она охватывает очень большую область знаний.
Множество различных теорий, изучавшихся ранее независимо друг от друга, оказываются на самом деле всего лишь частными случаями, различающимися только некоторыми численными значениями. При этом математики освобождаются от необходимости заниматься численными расчетами; как говорил Галуа, достаточно того, что они "предвидят" их. Объяснение этого образного выражения содержится в мемуаре, написанном 125 лет тому назад в Сент-Пелажи. Ни один добросовестный человек, даже если он не имеет никакого отношения к математике, не может не почувствовать горячей убежденности, пронизывающей эти страницы:
"...Итак, я полагаю, что упрощения, получаемые за счет усовершенствования вычислений (при этом, конечно, имеются в виду упрощения принципиальные, а не технические), вовсе не безграничны. Настанет момент, когда математики смогут настолько четко предвидеть алгебраические преобразования, что трата времени и бумаги на их аккуратное проведение перестанет окупаться. Я не утверждаю, что анализ не сможет достигнуть чего-нибудь нового и помимо такого предвидения, но думаю, что без него в один прекрасный день все средства окажутся тщетными.
Подчинить вычисления своей воле, сгруппировать математические операции, научиться их классифицировать по степени трудности, а не по внешним признакам - вот задачи математиков будущего так, как я их понимаю, вот путь, по которому я хочу пойти.
Пусть только никто не смешивает проявленную мной горячность со стремлением некоторых математиков вообще избегнуть каких бы то ни было вычислений. Вместо алгебраических формул они используют длинные рассуждения и к громоздкости математических преобразований добавляют громоздкость словесного описания этих преобразований, пользуясь языком, не приспособленным для выполнения таких задач. Эти математики отстали на сто лет.
Здесь не происходит ничего подобного. Здесь я занимаюсь анализом анализа. При этом самые сложные из известных сейчас преобразований (эллиптические функции) рассматриваются всего лишь как частные случаи, весьма полезные и даже необходимые, но все же не общие, так что отказ от дальнейших более широких исследований был бы роковой ошибкой. Придет время, и преобразования, о которых идет речь в намеченном здесь высшем анализе, будут действительно производиться и будут классифицироваться по степени трудности, а не по виду возникающих здесь функций".
Долгое время никто не подозревал о существовании этой программы, составленной Галуа в 1832 году. Ее опубликовали лишь спустя 70 лет после его смерти, но и тогда она не вызвала серьезного интереса и скоро была забыта. Только молодые математики нашего времени, продолжившие работу многих поколений ученых, осуществили, наконец, мечту Галуа. И тем не менее именно его работы ознаменовали конец предыстории и начало подлинной истории математики.
Несмотря на то, что научная деятельность Галуа была поразительно недолгой, сейчас все-таки можно проследить, как он постепенно пришел к столь глубоким выводам. В только что процитированном отрывке читатель должен обратить внимание на слова "сгруппировать математические операции". Здесь, несомненно, имеется в виду то, что сейчас носит название теории групп, той самой теории групп, которая, начиная с конца XIX века, оказала огромное влияние на развитие математического анализа, геометрии, механики и, наконец, физики. Честь создания этой теории принадлежит Эваристу Галуа, и он же первый оценил ее значение для будущего науки. Вот почему очень хотелось бы дать, пусть весьма общее, но тем не менее совершенно четкое представление о сущности того, что он сделал.
Одна из задач, над которой работал Эварист Галуа, привлекала внимание математиков в течение долгого времени. Это задача о решении алгебраических уравнений. Каждому из нас еще на школьной скамье приходилось решать уравнения первой и второй степени. Решить уравнение - это значит найти, чему равны его корни. Уже в случае уравнений третьей степени это совсем не так просто. Галуа же изучал самый общий случай уравнения произвольной степени.
Каждый из нас может взять лист бумаги, записать такое общее уравнение и обозначить его корни какими-нибудь буквами. Однако эти корни, разумеется, являются неизвестными. Первое из открытий Галуа состояло в том, что он уменьшил степень неопределенности их значений, т.е. установил некоторые из "свойств" этих корней. Второе открытие связано с методом, использованным Галуа для получения этого результата. Вместо того чтобы изучать само уравнение, Галуа изучал его "группу", или, образно говоря, его "семью".
Понятие группы возникло незадолго до работ Галуа. Но в его время оно существовало как тело, лишенное души, как одно из множества искусственно выдуманных понятий, время от времени возникающих в математике. Революционность того, что сделал Галуа, заключалась не только в том, что он вдохнул в эту теорию жизнь, что его гений придал ей необходимую законченность; Галуа показал плодотворность этой теории, применив ее к конкретной задаче о решении алгебраических уравнений. Именно поэтому Эварист Галуа является истинным создателем теории групп.
Группа - это совокупность предметов, имеющих определенные общие свойства. Пусть, например, в качестве таких предметов взяты действительные числа. Общее свойство группы действительных чисел состоит в том, что при умножении любых двух элементов этой группы мы получаем также действительное число. Вместо действительных чисел в качестве "предметов" могут фигурировать изучаемые в геометрии движения на плоскости; в таком случае свойство группы заключается в том, что сумма любых двух движений дает снова движение. Переходя от простых примеров к более сложным, можно в качестве "предметов" выбрать некоторые операции над предметами. В таком случае основным свойством группы будет то, что композиция любых двух операций также является операцией. Именно этот случай и изучал Галуа. Рассматривая уравнение, которое требовалось решить, он связывал с ним некоторую группу операций (к сожалению, мы не имеем возможности уточнить здесь, как это делается) и доказывал, что свойства уравнения отражаются на особенностях данной группы. Поскольку различные уравнения могут иметь одну и ту же группу, достаточно вместо этих уравнений рассмотреть соответствующую им группу, открытие ознаменовало начало современного этапа развития математики.
Из каких бы "предметов" ни состояла группа: из чисел, движений или операций, - все они могут рассматриваться как абстрактные элементы, не обладающие никакими специфическими признаками. Для того чтобы определить группу, надо только сформулировать общие правила, которые должны выполняться для того, чтобы данную совокупность "предметов" можно было назвать группой. В настоящее время математики называют такие правила групповыми аксиомами, теория групп состоит в перечислении всех логических следствий из этих аксиом. При этом последовательно обнаруживаются все новые и новые свойства; доказывая их, математик все более и более углубляет теорию. Существенно, что ни сами предметы, ни операции над ними никак не конкретизируются. Если после этого при изучении какой-нибудь частной задачи приходится рассмотреть некоторые специальные математические или физические объекты, образующие группу, то, исходя из общей теории, можно предвидеть их свойства. Теория групп, таким образом, дает ощутимую экономию в средствах; кроме того, она открывает новые возможности применения математики в исследовательской работе.
"Я умоляю моих судей по крайней мере прочесть эти несколько страниц", - так начал Галуа свой знаменитый мемуар. Если бы у его судей хватило гражданского мужества, мы простили бы им недостаток проницательности: идеи Галуа были настолько глубоки и всеобъемлющи, что в то время их действительно трудно было оценить какому бы то ни было ученому.
Андре Дальма. Эварист Галуа. Революционер и Математик. Москва. Наука 1984
http://lingua.russianplanet.ru/library/adalmas.htm
В 1830-1832 годах Галуа пришел к понятиям нормальной подгруппы, разрешимой группы, простой группы и сформулировал теоремы о простоте знакопеременной группы Аn степени n >= 5 и о простоте проективной специальной линейной группы PSL.2(q) при простом q >= 4.
О.В. Богопольский. Введение в теорию групп. Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2002, 148с.
https://vk.com/doc399489626_458005677



Мне нравится:
0

Рубрика произведения: Поэзия ~ Авторская песня
Количество рецензий: 0
Количество просмотров: 41
Опубликовано: 18.01.2019 в 08:31
© Copyright: Игорь Бабанов
Просмотреть профиль автора






Есть вопросы?
Мы всегда рады помочь!Напишите нам, и мы свяжемся с Вами в ближайшее время!
1